如何定价 Uniswap V3 「期权」？

Uniswap V3 LP 头寸类似于卖空看跌期权，在大多数情况下，将其借给期权买家并收取溢价优于简单地持有它并收取费用。

• Uni V3 LP 的头寸可以分解为看跌收益和范围组件。
• Uni V3 头寸的值是以下两项的和：1) 空头头寸的总和，其值由 Black-Scholes 模型给；2) 范围项，其闭合表达式由 Feynman-Kac 公式给出。
• 这可以通过将 Uni V3 LP 头寸转换为「固定 DTE」看跌期权来进一步简化，该看跌期权在到期时的价值收敛于 T_r > 0 时刻的看跌期权。
• 比较 Uni V3 头寸的预期收益和期权溢价可以帮助确定持有 Uni v3 头寸或将其「出借」给期权买家是否更有利。

为了建立 Uniswap v3 LP 头寸，必须在用户指定的范围内锁定资产（例如 ETH），在用户指定的范围 (由低刻度 tL 和高刻度 tH 定义) 之间。该 Uniswap v3 LP 仓位的取值为：

其中，S 是资产的现金价格，K 是执行价格√(tL*tH)， r 是范围因子√(tH/tL)。范围因素决定了持有资产和 numéraire 之间的过渡有多「尖锐」。

那么多头期权呢？如果一个人能够借入一个 Uni V3 LP 头寸，并在以后偿还，这相当于购买了一个看跌期权。用户在借入 LP 头寸时将支付固定的溢价。

溢价应该是多少？我们能否使用 Black-Scholes 模型这样的既定框架来直接为 Uni V3 头寸定价 ?

答案是肯定的。

在这篇文章中，我们将展示如何将 V(S) 分解为一个短线看跌组件 (对应于一个单刻度头寸) 和一个范围组件 (仅存在于上 / 下刻度之间) 来实现这一点。

Feynman-Kac 的期权定价

在推导 Uni V3 期权的价格之前，有必要回顾一下常规期权的定价方式。利用 Black-Scholes 模型，有许多方法可以得出常规看涨期权的价格。我最喜欢的方法是使用 Feynman-Kac 公式，该公式表示期权 u(S,t) 的值为 :

其中 V(x, T) 是到期时的收益函数，平均 ⟨ ⋅ ⟩ 是几何布朗运动的概率度量。

理解 Feynman-Kac 公式的含义很简单：期权在 T 时刻的价值是通过计算从现在到未来 T 时刻所有可能价格变动的收益函数的平均值来确定的。

物理学家 Richard Feynman 最初在量子力学的路径积分形式中提出了一个类似的方程，在这个方程中，一个粒子的「预期」头寸是由该粒子可能采取的所有路径的加权和决定的。Mark Kac 意识到他们正在研究一个类似的问题，当时他们都在康奈尔大学，他听了 Feynman 的演讲，那次合作产生了 Feynman-Kac 公式。

因此，直接计算 Feynman-Kac 公式，得到 :

对于看涨期权，收益 V(S,T) = max(SK,0)，对于看跌期权，收益 V(S,T) = max(KS, 0)，因此，时间 t 的看涨看跌期权的价值为 :

要证明这与 Black-Scholes 定价相一致。

定价 Uniswap V3 期权

Feynman-Kac 公式使计算奇异期权的价值变得容易。我们将应用 Feynman-Kac 公式来计算 Uniswap V3 期权的值。

为了让事情变得简单一点，我们首先将 Uni V3 LP 的价值分解为两个不同的部分 V(S, t) = V_p(S, t) + V_ρ(S, t)，其中 V_p=-max( KS, 0) 是看跌期权的收益，范围收益 V_ρ是由以下式给出的：

我们可以图形化地看到看跌期权和范围收益如何与 Uni V3 头寸的价值相关 : 范围收益在执行价格时是最大的，在上 / 下刻度处为零 (为了简单，我画出了范围收益的负值)。

使用这个分解，我们可以使用 Feynman-Kac 公式明确求解在时间 t 的 Uni V3 期权的值。这样做，我们得到 :

其中，Put(S, t) 是 Black-Scholes 给出的执行 K 处的时看跌期权的熟悉价格。

「范围期权」ρ(S,t) 分量是严格正项，对应于 LP 头寸的范围部分的值。通过求解 Feynman-Kac 公式，得到了ρ(S,t) 的一个相当复杂的表达式 :

虽然我们现在对ρ(S,t) 的细节不感兴趣，但我们可以从图形看到，ρ(S,t) 是这样的 :

我们能让这个表达式更简单吗 ?

Uni V3 头寸值的表达式相当复杂。幸运的是，我们可以大大简化分析。

正如我关于在 Uniswap V3 中创建永久期权的文章所示，一个具有范围因子 r 的 Uni V3 LP 头寸的良好近似是在时间 T_r 的常规看跌期权，其中

因此，我们可以将 Feynman-Kac 公式给出的期权定价表达式简化为一个更简单的表达式，该表达式利用了上面的范围因子 /DTE 关系。具体来说，我们得到：

换句话说，Uniswap V3 期权的值相当于一个以固定的到期天数 (DTE) 到期的看跌期权，因此在到期时 DTE > 为 0。

在到期前，Uni V3 期权的价格仍然受 theta 衰减的影响，但 gamma 将被限制在 45DTE 期权的 gamma。

这个近似有多精确 ? 我们可以在下图中看到，将固定 DTE 近似值与 Uni V3 期权的计算值进行比较，当范围因子小于 2 时，固定 DTE 看跌期权近似值与精确解之间的差异并不显著：

Uni V3 的返回值是否匹配它们的「期权」值 ?

目前，对于 Uni V3 的 LP 来说，唯一的选择是持有他们的头寸，直到他们积累了足够的费用来盈利。没有协议允许用户轻松地借入 / 出借 Uni V3 LP 头寸。

但是，如果有这样的一个协议，那么 Uni V3 流动性提供者借出其 LP 头寸所收到的溢价将由 Black-Scholes 模型给出，该模型具有取决于范围因子 r 的「固定 DTE」。相比之下，如果不考虑头寸并简单地收取费用，费用也会累积。

因此，在 Uni V3 LP 头寸被铸造 / 出借 / 借入并作为期权交易的世界中，一个关键的问题是，是否这样做会更好：

持有 LP 头寸一段时间 T，收取 0.05- 0.3% -1% 的费用

或

「出借」期权期限为 T，收取固定的保费

让我们通过分析这两个场景的预期收益率来探讨这个问题。

保持 LP 头寸

首先，如果将流动性部署到单次报价，则单位流动性 ΔL 的预期 LP 回报为：

其中γ是费用等级 (如 :0.01、0.003 或 0.0005)，「Tick Liquidity」是当前价格池中的流动性数量。√(8/π)=1.5957691216…的因子来自假设价格遵循几何布朗运动的情况下推导出在价内花费的时间。

这里的关键是，预期收益的增长是√T。因此，由于对于更广泛的头寸，费用随时间线性累积，我们将只考虑单点头寸。

重要的是，这意味着 LP 回报将取决于池的总规模和部署的 tick 处的总流动性。

在下面的示例中，我们考虑在 ETH-DAI-0.3% 池中的 3990 刻度处部署一个头寸。由于该池的日交易量为 1571 万美元，3990 点的锁定价值为 70.60ETH = 281694 美元，相对 LP 回报应该是每√天约 1.6% 或每年约 30%(假设年化波动率为 100%)。

相比之下，将相同的流动性配置到 ETH-USDC-0.03% 这类资产池中，LP 头寸每√天的回报率为 1.37%，即每年 26.2%。一些池子产生的收益比其他池子多。

一些池的预期回报率非常高，主要是因为与交易量相比，它们的每点流动性相对较低。

例如，一个新上市的代币，如 RBN，在当前的价值为 2500 万美元的情况下，只有 50 万美元的锁定价值。

向期权买家出借 Uni V3 LP 头寸

另一方面，用户可能希望创建一个 Uni V3 LP 头寸，并将其借给另一个用户一段时间 T 以获取溢价。

具体而言，收到的保费将为 :

除了时间按照 t→(t+T_r) 转换外，这是对空头看跌期权价值的熟悉表达式。

这个表达式将取决于特定的底层证券，执行价格 K，隐含波动率σ和到期时间 t . 如果我们认为期权是「平价」铸造的，LP 头寸执行价格的 K 等于当前价格，然后看跌期权的价值是：

有趣的是，这个表达式也依赖于时间的平方根。这意味着我们可以直接将每单位部署流动性收到的溢价与通过持有 LP 头寸和收取费用获得的预期回报进行比较。

如果我们考虑一个单次报价仓位，那么 T_r 将为 0，(Tt) 将是该仓位的持有时间（如果持有至到期）。

因此，我们只需要比较√T 项相乘的因素，就能找到哪种策略最有利：

假设年波动率为 100%，这意味着如果每日交易量 / 即时流动性比率大于以下值，持有期权只会产生大于借出期权的回报：

可能需要计算每个池的实际日交易量、tick 流动性和已实现的波动性，以准确判断是否满足上述标准 (每个池可能会发生变化)。

与它们锁定的流动性相比，一些池子的日交易量确实很大。只有当持有比率大于 1 时，持有这些资产池的头寸才会产生高于期权溢价的预期收益。

目前，只有上面强调的 UNI/ETH, HEX/USDC 和 RBN/ETH 池可以产生更高的投资回报。持有比率

换句话说，将大多数 Uni V3 交易对的 Uni V3 LP 头寸作为 ATM 期权出借，比持有+收取费用更有利可图。

要点

我们的结果表明，Uni V3 头寸类似于卖空看跌期权，在大多数情况下，将其借给期权买家并收取溢价，而不是简单地持有它并收取费用。

这意味着什么 ? 首先，这表明，建立一个基于 Uniswap V3(或 SushiSwap 即将推出的集中流动性池) 的健康期权市场，可能会增加流动性提供者收集的收益率。

其次，LP 不仅可以产生更多的收益，期权买家还可以通过购买看跌期权来保护自己的投资。ETH-稳定币对期权可以有效地由 Opyn、Pods Finance 或 Lyra Finance 等协议有效处理，但它将挑战建立智能交易合约存在的每个可能的资产对的期权 (成千上万的市场存在 Uniswap 长尾结束的加密资产)。

最后，人们在解释 Uniswap V3 或 SushiSwap 上集中流动性头寸部署的方式时，需要进行文化上的转变。虽然恒定产品 AMM 更易于理解和管理，但与集中流动性 AMM 相比，它们容易出现重大的非永久性损失，并且资本使用效率非常低。

做空期权交易本质上是一种有利可图的行为 (因为隐含波动率往往高于实际波动率)，但管理做空期权投资组合不是一种买入并持有的被动策略。做空期权和 Uni V3 LP 头寸必须被积极管理，但积极投资并不意味着每天每时每刻都在观察图表和交易。有了正确的工具，成为一个积极的投资者每天只需要不到 5 分钟。